本文作者：刘瑞祥，[遇见数学]感谢刘老师一直来关注支持！
幂函数的奇妙之处首先在于这个“幂”字，据说最早的含义是盖在平面上的布，大概类似于桌布之类，所以下面有个“巾”，后来就引申为面积，所谓“幂势既同，则积不容异”（祖暅原理），最后成了乘积结果的名词。
幂函数的图像多种多样，一般限定指数为有理数 m/n，图像包括以下十种，定义域、值域、对称性、增减性、凹凸性各不相同。大家能不能根据图像判断 m 和 n 的关系呢：
在五种基本的初等函数中，指数函数和对数函数互为反函数，三角函数和反三角函数互为反函数，只有幂函数的反函数（如果存在）仍然是幂函数，甚至有两个特殊的幂函数其反函数纹丝不变，多么奇妙？
接下来我们要说的是，在现实世界中，往往可能知道一个量和另一个量的若干次方成正比，却不知道具体的指数应该是多少，这时就需要对数大显身手：把变量按照对数标出来，然后可以把图像变成一条直线，从直线的斜率计算出指数，然后再看该直线在坐标轴上的截距，得到比例常数。
在物理课上学习量纲的时候，我们知道，五种基本初等函数中的四种——指数函数、对数函数、三角和反三角函数，变量必须是“零量纲”的，比如 y=e^x 中的 x 就不能有单位，只能是纯数，当然公式可能是 y=e^(at) 的形式，其中 t 如果具有[时间]量纲，则 a 具有[时间]^-1 的量纲。但幂函数不会受此限制，自变量就大大方方地具有各种时间、长度、质量乃至它们的组合等等量纲。
说起幂函数的奇妙，肯定不能离开泰勒展式。这个式子可以把各种形式不同的函数表示成为一系列幂级数的和，真是不可思议。而且我们会发现，如果只取幂级数前面的几项，那么复杂问题就会被归结为非常简单的情形。范德瓦尔斯气体方程是这样，相对论的动能公式也是这样。
▲ 如果仅保留最右边第一项则变为理想气体状态方程
▲低速情况下v<<c，所以不考虑v2/c2的高次方
同样，在几何光学里，因为折射公式涉及三角函数，所以我们不得不采取所谓“近轴近似”，也就是利用代替（当接近于 0 时）。即便如此，推导公式的时候也够麻烦了。
▼ 《几何光学》，王天谡，北京教育出版社 1989 年版
想一想如果要进一步研究，就要将正弦函数展开到三次或者更高次，计算就更复杂了，真是头大。
除了以上所说，在利用“分部积分法”进行不定积分时，幂函数还是位于“居中”地位的函数，这也就是著名的“指三幂反对”顺序。这个顺序的意思是，如果被积函数是两个不同种类函数的乘积，那应该按照这个顺序进行变换（为简单起见，以下都是以 y=x 作为幂函数的代表）：
▲ 先把指数函数放到 d 的后面
▲ 先把三角函数放到 d 的后面
▲ 先把幂函数放到 d 的后面
▲ 先把幂函数放到 d 的后面
如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规等内容，请联系我们举报！一经查实，本站将立刻删除。